平成27年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問15
ノードN₁とノードN₂で通信を行うデータ伝送網がある。図のようにN₁とN₂間にノードNを入れてA案，B案で伝送網を構成したとき，システム全体の稼働率の比較として適切なものはどれか。ここで，各ノード間の経路（パス）の稼働率は，全て等しく ρ（0 ＜ ρ ＜ 1）であるものとする。また，各ノードは故障しないものとする。
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解答する前に解説を開いたので、この問題は「見て解いた」として記録します（正解数には入りません）。
正解：エ
A案：N₁ → N → N₂ の経路（パス2本の直列，稼働率 ρ²）が2系統並列になっています。
A ＝ 1 − (1 − ρ²)² ＝ 2ρ² − ρ⁴
B案：N₁－N 間がパス2本の並列（稼働率 1 − (1 − ρ)²），N－N₂ 間も同様で，これらが直列になっています。
B ＝ {1 − (1 − ρ)²}² ＝ (2ρ − ρ²)² ＝ 4ρ² − 4ρ³ + ρ⁴
差を取ると，
B − A ＝ 2ρ² − 4ρ³ + 2ρ⁴ ＝ 2ρ²(1 − ρ)² ＞ 0（0 ＜ ρ ＜ 1）
となり，常に B案の方が稼働率が高くなります。
-
ア: 大小関係は ρ の値によって変化する
誤り。0 ＜ ρ ＜ 1 の範囲では常に B − A ＝ 2ρ²(1 − ρ)² ＞ 0 となり，大小関係は変化しません。 -
イ: A案，B案の稼働率は等しい
誤り。B − A ＝ 2ρ²(1 − ρ)² ＞ 0 なので等しくありません。 -
ウ: A案の方が稼働率が高い
誤り。B案の方が稼働率が高いので誤りです。 -
エ: B案の方が稼働率が高い
正しい。0 ＜ ρ ＜ 1 では常に B案の稼働率がA案より 2ρ²(1 − ρ)² だけ高くなります。
答え
エ: B案の方が稼働率が高い
出典：平成27年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問15
