平成25年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問2

まず (A∪B)∩(A̅∪B̅) を考えます。A∪B は「A か B に属する」，A̅∪B̅ は「A と B の両方には属さない」なので，この積集合は A と B のどちらか一方だけに属する部分（排他的論理和）です。

その補集合は「A と B の両方に属する，又はどちらにも属さない部分」，すなわち (A∩B)∪(A̅∩B̅) になります。

ド・モルガンの法則で確かめると (A∪B)∩(A̅∪B̅) の補集合 ＝ (A∪B)の補集合 ∪ (A̅∪B̅)の補集合 ＝ (A̅∩B̅)∪(A∩B)

• ア: (A̅∪B)∩(A∪B̅)
  正しい。展開すると (A̅∩A)∪(A̅∩B̅)∪(B∩A)∪(B∩B̅) ＝ (A∩B)∪(A̅∩B̅) となり，求める集合と一致します。

• イ: (A̅∪B̅)∩(A∪B)
  誤り。積集合の順序を入れ替えただけで，補集合をとる前の (A∪B)∩(A̅∪B̅)（排他的論理和に相当する集合）そのものです。

• ウ: (A̅∩B)∪(A∩B̅)
  誤り。A と B のどちらか一方だけに属する部分で，補集合をとる前の集合（排他的論理和）と同じです。

• エ: (A̅∩B̅)∩(A∪B)
  誤り。A̅∩B̅ は A∪B の補集合なので，これと A∪B の積集合は空集合になります。

答え

ア: (A̅∪B)∩(A∪B̅)